2.2 Berechnung des Abflusses aus einer Schneedecke (Schmelzsetzungsverfahren nach Bertle)

Modul- und Programmentwicklung: Frank Voß

2.2.1 Anwendungsbereich

2.2.2 Prozessbeschreibung

2.2.3 Programmtechnische Umsetzung

	2.2.3.1 Berechnungsschritte zur Ermittlung des Wasserhaushaltes einer Schneedecke
	2.2.3.1.1 Aufbau der Schneedecke (Akkumulationsphase)
	2.2.3.1.2 Umwandlung der Schneedecke (snow-compaction)
	2.2.3.1.3 Grenzzustand
	2.2.3.1.4 Abschmelzen der Schneedecke (Ablation)

2.2.4 Literatur

2.2.5 Verwendete Parameter

2.2.1 Anwendungsbereich

Die Berechnung der Schneedynamik ist der Modellebene Meteor zugeordnet und beschreibt innerhalb dieser Ebene den Prozess der Schneedeckenentwicklung und der Schneeschmelze. Die Schneemodellierung gewinnt in zunehmendem Maße als hydrologische Einflussgröße vor allem bei Hochwasserereignissen an Bedeutung. Regenfälle auf eine Schneedecke machen sich am Flusspegel entweder kaum bemerkbar oder aber sie rufen besonders intensive Abflusssteigerungen hervor. Im ersten Fall führt dies zu einer Veränderung des Zustandes der Schneedecke, im zweiten Fall wird eine kritische Lagerungsdichte überschritten, so dass der Regen ohne größere Zeitverzögerung zum Abfluss kommt und zudem freies Wasser aus der Schneedecke abfließt. Je nach Metamorphosezustand der Schneedecke kann mehr oder weniger Wasser in den Hohlräumen aufgenommen werden. Diese Prozesse sollen im Folgenden näher beschrieben werden und beruhen auf dem Schmelzsetzungsverfahren (Snow-Compaction) nach Bertle (1966).

2.2.2 Prozessbeschreibung

Die Entwicklung einer Schneedecke gliedert sich in vier Phasen:

1. Akkumulieren ohne Schmelzvorgang und Regen;
2. Umwandlung durch Schmelzvorgänge und Regeneinwirkung ohne Schneedeckenabfluss, die kritische Lagerungsdichte (Grenzzustand) ist noch nicht erreicht;
3. Grenzzustand mit plötzlichem Ausfluss aus der Schneedecke;
4. Abbau der Schneedecke durch Schneedeckenabfluss nach Erreichen der kritischen Lagerungsdichte (Ablation).

Man kann sich feuchten Schnee als wassergefüllten Eis-Schwamm vorstellen. Die Schneeschmelze führt zum Abbau des Eisskeletts, so dass bei Überschreiten der Rückhaltefähigkeit das gespeicherte freie Wasser plötzlich freigesetzt wird. Der für den Schneedeckenabfluss kritische Wert der Lagerungsdichte ρ_Dkrit liegt zwischen 40 und 50 %.

Die Entwicklung der Schneedecke sind in der Abbildung 2‑1 noch einmal dargestellt.

Abbildung 2‑1: Die Metamorphosezustände einer Schneedecke (Quelle: Schriftenreihe des DVWK, Heft 46)

Um eine Aussage über den Wasserhaushalt einer Schneedecke machen zu können, müssen beide Vorgänge beachtet werden: Die Schneehöhenänderung infolge der Schneeschmelze und die Höhenänderung infolge der Setzung.

Zur Beschreibung der oben beschriebenen Prozesse eignet sich das Schmelzsetzungsverfahren nach Bertle (1966) sehr gut. Hierbei wurde ein empirischer Zusammenhang zwischen der anfänglichen Schneehöhe und der Menge des zugeführten freien Wasser ermittelt. Dieser kann durch den folgenden linearen Zusammenhang ausgedrückt werden:

(Gl.2‑1)

mit

P_H = Schneehöhe in % der Ausgangshöhe [%]

P_W = akkumuliertes Wasseräquivalent in % vom anfänglichen Wasseräquivalent [%]

Zur Berechnung des Abflusses aus einer Schneedecke ist zudem die Bestimmung der potentiellen Schneeschmelzintensität notwendig. Diese kann mit Hilfe eines Näherungsverfahrens berechnet werden. Da meteorologische Messgrößen zur Aufstellung der Gesamtenergiebilanz einer Schneedecke häufig nicht vorliegen, wird an dieser Stelle ein einfaches Grad-Tag-Verfahren angewendet. Die potentielle Schneeschmelzrate M_p (Einheit hier in [mm]) wird dabei aus der Summe der täglichen Mittel der positiven Lufttemperatur und einem empirisch ermittelten Grad-Tag-Faktor abgeschätzt. Die Vorhersage der potentiellen Schmelzrate M_p erfolgt mittels der Gleichung:

[mm/DT] (Gl.2‑2)

mit

a_t = Gradtag-Faktor [mm/(°C*DT)]

T_L = mittlere Lufttemperatur [°C]

T_b = Referenztemperatur (meist 0°C) [°C]

In der Literatur werden die in der Tabelle 1 angegebenen Werte für den Grad-Tag-Faktor angegeben.

Um auch eine Berechnung in beliebiger Zeitschrittweite zu ermöglichen lässt sich dieser Faktor auf den Zeitschritt DT skalieren.

Bei Erreichen der Grenzbedingung ist der Wert für die größtmögliche prozentuale Aufteilung von akkumuliertem Wasseräquivalent zum Wasseräquivalent des Trockenschnees vorzugeben (P_Wmax). Dieser berechnet sich aus:

[%] (Gl.2‑3)

wobei:

ρ_t0 = Trockenschneedichte vor Beginn der Schneedeckensetzung (Akkumulationsende) [%]

(Gl.2‑4)

ρ_tmax = Höchstwert der Trockenschneedichte in der nassen Schneedecke (im Grenzzustand) [%]

2.2.3 Programmtechnische Umsetzung

Das Schmelzsetzungsverfahren nach Bertle (1966) wird über das Steuerwort 'SCHNEEMODELL' mit der Option '3' in der Datei modul.ste aktiviert.

Als Nutzerschnittstelle für die Modellparametrisierung existiert in der Datei modul.ste in dem Abschnitt "MET_MOD1" ein Abschnitt zur Eingabe der beiden Parameter ρ_Dkrit und ρ_D0 (s. Abbildung 2‑2). Diese beiden Kennwerte, die einerseits die kritische Lagerungsdichte und andererseits die Neuschneedichte beschreiben, sind vorzugeben. Somit gelten diese Parametereinstellungen jeweils für das gesamte zu berechnende Gebietsmodell. Als weitere Variante kann ρ_D0 auch temperaturabhängig berechnet werden. Hierzu wurde eine Beziehung von Meister 1985 implementiert:

[%]

Dieses Verfahren wird aktiviert, indem der Parameter ρ_D0 in der Steuerdatei modul.ste auf '0' gesetzt wird.

Abbildung 2‑2: Auszug aus der Datei modul.ste - Modulsteuerung MET_MOD1

Werte für ρ_D0 liegen zwischen 5 % und 20 %, Werte für ρ_Dkrit zwischen 40 % und 45 %. Der kritische Wert ρ_Dkrit ist ein Schwellenwert für die Strukturentwicklung einer Schneedecke. Er ist kein spezifischer Stoffwert, so dass in der Natur durchaus höhere Werte vorkommen können.

Weitere Parametereinstellungen werden in der Datei 'meteor.ste' vorgenommen. Hier kann zwischen der Schmelztemperatur über der Schneeschmelze ('GRENZTEMPERATUR_S') und der Grenztemperatur für den Schneefall ('GRENZTEMPERATUR') unterschieden werden. Je nach Einzugsgebiet und dem Berechnungszeitschritt können die Angaben hier deutlich variieren. So kann im Tagesschrittmodell die Schmelztemperatur durchaus unter 0 °C angesetzt werden, da sich dieser Wert auf einen mittleren Tageswert bezieht (s. Abbildung 2‑3).

Abbildung 2‑3: Auszug aus der Datei meteor.ste

Bislang wird für den Grad-Tag-Faktor ein konstanter Wert von 3 mm/(°C*d) angenommen. Dieser kann nur modellintern variiert werden. Für weitere Anwendungen ist es zwingend erforderlich diesen Parameter an die vorliegenden Eingangsdaten zur Landbedeckung zu koppeln.

Des Weiteren wurde als weiterer Ansatz zur Berechnung der Schneeschmelzintensität ein Temperatur-Faktor-Verfahren, wie es in Knauf (1980) beschrieben wird, implementiert:

[mm/h] (Gl.2‑5)

mit

• a_h = Abtaukoeffizient [mm/(h*K)]
• = [0,1-0,5]
• T_L = mittlere Lufttemperatur [K]
• i_S.B = strahlungsunabhängige Konstante [mm/h]
• = [0,1-1,0]

Dieses Verfahren kann allerdings nur im Quellcode selbst aktiviert werden. Für die Berechnung auf Stundenwertbasis sind hierzu allerdings noch Modelluntersuchungen zur Konsolidierung des Verfahrens durchzuführen. Daher wurde diese Modellvariante auch noch nicht als Auswahloption in der Steuerdatei modul.ste aufgeführt.

Als Ausgangsdaten werden für die Berechnung der Schneedeckenabflussganglinie bei diesem Verfahren Werte für die Temperatur und den Niederschlag benötigt. Zudem werden die zuvor in der Modulebene ABI berechneten Werte für die potentielle Verdunstung (Abi_PotVerdunstung()) und die aktuelle Verdunstung (Abi_AktuelleVerdunstung()) zur Berechnung der Sublimation verwendet. Die hier berechneten Werte der Sublimation haben direkten Einfluss auf die Werte der aktuellen Verdunstung, da diese um den Anteil der Sublimation erhöht werden. Sublimation (M_Sub) findet in dieser Modellvariante nur bei Temperaturen unterhalb der GRENZTEMPERATUR (s. Abbildung 3) statt. Sie berechnet sich aus:

[mm/Δt] (Gl.2‑6)

Die Sublimation verringert das Wasseräquivalent des Trockenschneeanteils.

2.2.3.1 Berechnungsschritte zur Ermittlung des Wasserhaushaltes einer Schneedecke

In den Berechnungen zur Ermittlung des Wasserhaushaltes der Schneedecke wird der Energiegehalt bzw. der Kälteinhalt der Schneedecke vernachlässigt. Von besonderer Bedeutung ist jedoch, dass die Zufuhr an freiem Wasser entweder aus dem Schneeschmelzvorgang oder aber direkt aus flüssigem Niederschlag stammen kann. Das Schmelzsetzungsverfahren kann auch auf Fälle mit intermittierendem Schneefall und bei Schichtenbildung angewendet werden. Für die Ermittlung des Schneedeckenabflusses ist es dabei unerheblich, ob die Bilanzierung für jede Schicht separat oder einheitlich für die gesamte Schneedecke durchgeführt wird.

2.2.3.1.1 Aufbau der Schneedecke (Akkumulationsphase)

Der Ablauf der Akkumulationsphase wird in folgende Teilprozesse untergliedert:

• Schneehöhenzuwachs bei Schneefall
  • (Gl.2‑7)
  • wobei:
  • DH_N = Schneehöhenänderung durch Neuschnee [mm/DT]
  • N = Niederschlag (als Schneefall) [mm/DT]
  • ρ_D0 = Neuschneedichte [%]
• Berechnung der Trockenschneehöhe
  • (Gl.2‑8)
  • mit:
  • H_TS = Trockenschneehöhe [mm]
  • H'_TS = Ausgangsschneehöhe des Trockenschnees [mm]
• Berechnung des Wasseräquivalent des Trockenschnees
  • (Gl.2‑9)
  • mit:
  • W_TS = Wasseräquivalent des Trockenschnees [mm]
  • W_akk = akkumuliertes Wasseräquivalent [mm]
  • In der Akkumulationsphase ist das Wasseräquivalent des Trockenschnees dem akkumulierten Wasseräquivalent gleichzusetzen (plus des im aktuellen Zeitschritt gefallenen Schnees s.u.). Bei noch vorhandener Schneedecke muss der zuvor flüssige Anteil hier wieder aufgeschlagen werden. Dies tritt ein, wenn auf eine schmelzende Schneedecke neuer Schnee hinzu kommt.
• Berechnung des akkumulierten Wasseräquivalent
  • (Gl.2‑10)
  • mit:
  • W'_akk = akkumuliertes Wasseräquivalent aus vorhergehendem Zeitschritt [mm]
• Berechnung des akkumulierten Wasseräquivalents in % vom Wasseräquivalent des Trockenschnees
  • (Gl.2‑11)
  • mit:
  • P_W = akkumuliertes Wasseräquivalent in % vom Wasseräquivalent des Trockenschnees [%]
• Berechnung der Schneehöhe in % der Ausgangsschneehöhe (s. Abschnitt 2.2.2 Gleichung 2‑1)
• Berechnung der Schneehöhe nach Setzung (in dieser Phase noch keine Setzung, daher ist die Schneehöhe gleich der Trockenschneehöhe)
  • (Gl.2‑12)
  • mit:
  • h_s = Schneehöhe nach Setzung [mm]
• Berechnung der Dichte des Trockenschnees
  • (Gl.2‑13)
  • mit:
  • ρ_t = Dichte des Trockenschnees [%]
  • In jedem Berechnungsschritt wird in dieser Phase auch ρ_t0 (s. Abschnitt 2.2.2) für die weiteren Berechnungen bestimmt. Dieser ist hierbei gleich dem Wert von ρ_t.
• Berechnung der aktuellen Lagerungsdichte der Schneedecke
  • (Gl.2‑14)
  • mit:
  • ρ_D = aktuelle Lagerungsdichte der Schneedecke [%]

Da in diesem Fall noch keine Setzung stattgefunden hat, ist die aktuelle Lagerungsdichte gleich der Trockenschneedichte.

Eine Wasserabgabe aus der Schneedecke findet nicht statt, so dass auch das Niederschlagsdargebot 0 mm beträgt. Die hier berechneten Größen müssen allesamt zwischengespeichert werden, da sie im Falle der Schneesetzung bzw. des Abschmelzens der Schneedecke herangezogen werden müssen.

2.2.3.1.2 Umwandlung der Schneedecke (snow-compaction)

Falls die Lufttemperatur im aktuellen Zeitschritt geringer als die Grenztemperatur, oberhalb derer Schneeschmelze angenommen wird (s. Abbildung 3: GRENZTEMPERATUR_S), ist, findet eine Umwandlung innerhalb der Schneedecke statt. Dies wird auch mit Schneesetzung oder 'snow-compaction' in der Literatur beschrieben. Da die Werte für die beiden festzulegenden Grenztemperaturen 'GRENZTEMPERATUR' und 'GRENZTEMPERATUR_S' (s. Abschnitt 2.2.3) nicht identisch sein müssen, kann im Berechnungsablauf innerhalb eines Zeitschrittes sowohl Schneefall als Schneesetzung stattfinden. Der Ablauf der Umwandlung der Schneedecke gliedert sich in folgende Teilschritte, sofern die kritische Lagerungsdichte noch nicht überschritten ist (ρ_D < ρ_Dkrit; s. Abschnitt 2.2.3; ρ_Dkrit zwischen 40 und 50 %):

• Zunächst wird die potentielle Schmelzrate M_p nach Gleichung 2‑2 bzw.2‑5 ermittelt (s. Abschnitt 2.2.2). Das freie Wasser aus der Schneeschmelze entspricht in dieser Phase der potentiellen Schmelzrate
  • (Gl.2‑15)
  • wobei:
  • DW_fs = freies Wasser aus Schneeschmelze [mm/DT]
• Berechnung der Schneehöhenänderung durch Schneeschmelze
  • (Gl.2‑16)
  • mit:
  • DH_S = Schneehöhenänderung durch Schneeschmelze [mm/DT]
  • DH_S vermindert die Schneehöhe des trockenen Anteils zu
  • (Gl.2‑17)
  • Hierbei ist es durchaus möglich, dass die Schneedecke bereits in dieser Phase der Umwandlung vollständig abtauen kann, d.h. dass die pot. Schmelzrate den aktuellen Wassergehalt der Schneedecke übersteigt. Somit ist dann das Niederschlagsdargebot dem akkumulierten Wasseräquivalent gleichzusetzen. Falls dies nicht der Fall ist, sind weitere Umwandlungen möglich.
• Berechnung des Wasseräquivalentes im Trockenschnee
  • (Gl.2‑18)
• Berechnung des akkumulierten Wasseräquivalents in % vom Wasseräquivalent des Trockenschnees (P_W s. Gl.2‑11)
  • Zur Bestimmung, ob der Grenzzustand erreicht wird oder nicht, muss der größtmögliche Wert von P_W (P_Wmax) bestimmt werden (s. Gl.2‑ 3).
• Berechnung der Schneehöhe in % der Ausgangshöhe P_H (s. Gl.2‑1) und der aktuellen Schneehöhe nach Setzung h_s (s. Gl.2‑12)
• Berechnung der Dichte des Trockenschnees ρ_t (s. Gl.2‑13) und der aktuellen Lagerungsdichte der Schneedecke ρ_D (s. Gl.2‑14)

In der Umwandlungsphase findet noch kein Ausfluss aus der Schneedecke statt. Der bereits geschmolzene Schnee kann komplett in der Schneedecke gespeichert werden. Somit beträgt das Niederschlagsdargebot auch in dieser Phase 0 mm.

2.2.3.1.3 Grenzzustand

Im Grenzzustand werden folgende Bedingungen erfüllt:

• ρ_D > ρ_Dkrit oder
• P_W > P_Wmax.

Hiermit wird deutlich gemacht, dass kein weiteres Wasser in der Schneedecke gespeichert werden kann und ein Abfließen aus der Schneedecke nicht mehr verhindert werden kann.

Die Abfrage dieses Grenzzustandes wird rechentechnisch gesehen bereits in der Umwandlungsphase vollzogen, da dieser Zustand eine Rückrechnung aller anderen Größen erfordert. Dies erfolgt in folgender Reihenfolge:

• Die aktuelle Lagerungsdichte wird auf den max. Wert festgelegt ρ_D = ρ_Dkrit.
• Die max. Dichte des Trockenschnees ρ_tmax wird nach Gleichung 2 festgelegt.
• P_W muss auf den max. Wert P_Wmax (s. Gl.2‑3) festgelegt werden.
• Vom akk. Wasseräquivalent W_akk wird der Niederschlag zunächst wieder abgezogen (W_akk = W'_akk).
• Das Wasseräquivalent des Trockenschnees berechnet sich aus (Gl.2‑19)
• Die Schneeschmelze vor Erreichen der kritischen Lagerungsdichte wird errechnet. Dazu wird zunächst das freie Wasser aus der Schmelze bestimmt zu: (Gl.2‑20) mit einer entsprechenden Schneehöhenänderung nach Gleichung 2‑16.
• Es erfolgt die Berechnung der Trockenschneehöhe nach Gleichung 2‑17.
• Die Schneehöhe in % der Ausgangshöhe P_H wird nach Gleichung 2‑1 bestimmt.
• Es wird zunächst eine Schneehöhe nach der Setzung und vor dem Beginn des Abflusses berechnet (s. Gl.2‑12).
• Nun kann das freie Wasser aus der Schneeschmelze nach Erreichen der kritischen Lagerungsdichte berechnet werden (Gl.2‑21) wobei das DW_fs der Subtraktion aus Gleichung 2‑20 herangezogen wird.
• Die Berechnung der Schneehöhenänderung durch Schneeschmelze nach Erreichen der kritischen Lagerungsdichte erfolgt durch (Gl.2‑22) wobei sich die neue Schneehöhe aus der Schneehöhe vor der Setzung durch Subtraktion der hier berechneten Schneehöhenänderung ergibt.
• Der max. freie Wassergehalt innerhalb der Schneedecke bei ρ_Dkrit ergibt sich zu: (Gl.2‑23)
• Somit lässt sich die insgesamte Wasserabgabe aus der Schneedecke und (hiermit gleichbedeutend) das Niederschlagsdargebot N_d bestimmen. Es gilt: (Gl.2‑24). Der gefallene Niederschlag fließt also in diesem Zustand der Schneedecke komplett durch und kann nicht zwischengepuffert werden. Am Ende des Zeitschrittes darf das gesamte akkumulierte Wasseräquivalent W_akk nur max. W_fsmax betragen (W_akk = W_fsmax).

2.2.3.1.4 Abschmelzen der Schneedecke (Ablation)

Beim Abbau der Schneedecke ist die kritische Lagerungsdichte bereits überschritten (ρ_D > ρ_Dkrit). Das gesamte Wasser aus der Schneeschmelze wird aus der Schneedecke abgeführt und kommt zum Abfluss. Das Niederschlagsdargebot entspricht also der Schmelzwasserabgabe.

Die max. Dichte des Trockenschnees ρ_tmax wird wie im Grenzzustand bereits beschrieben nach Gleichung 2‑2 festgelegt, so dass sich hieraus die Schneehöhenänderung berechnen lässt. Trockenschnee ist in dieser Phase nicht mehr vorhanden. Auch hier darf am Ende des Zeitschrittes das gesamte akkumulierte Wasseräquivalent W_akk nur max. W_fsmax betragen (W_akk = W_fsmax).

Die Berechnungsabfolge sieht wie folgt aus, wobei hier auf die Darstellung der Formeln verzichtet wird, da sich diese aus dem zuvor beschriebenen Text ableiten lassen:

• M_p
• DW_fs
• DH_s (nach Gl.2‑22)
• h_s
• W_akk (zur Berechnung von N_d)
• W_fsmax
• N_d
• W_akk = W_fsmax

2.2.4 Literatur

Bertle, F.A. (1966): Effect of Snow-Compaction on Runoff from Rain and Snow. Bureau of Reclamation, Engineering Monograph, Washington.

Knauf, D. (1980): Die Berechnung des Abflusses aus einer Schneedecke. In: Schriftenreihe des DVWK, Heft 46: Analyse und Berechnung oberirdischer Abflüsse. DVWK, Bonn

Meister, R. (1985): Density of new snow and its dependence on air temperature and wind. Workshop on the Correction of Precipitation Measurements. Zürich.

Schöniger, M. Dietrich J. (2002): Hydroskript. http://www.hydroskript.de

2.2.5 Verwendete Parameter