7.7 Extremwertprognose

Dieses Kapitel wurde für die Vorlesung von M. Schöniger an der Fachhochschule Nordostniedersachsen (Suderburg) eingefügt. Es dient als Ergänzung zum Skript von Prof. Wittenberg (Kap. 7, S. 34).

Wahrscheinlichkeitsanalyse von Extremwerten

Bemessungshochwasser und -niederschlag

Ziel der Extremwertprognose ist die Beschreibung der diskreten Häufigkeitsdichte bzw. der Unterschreitungsdauerlinie der Stichprobe durch eine kontinuierliche Dichtefunktion bzw. Verteilungsfunktion, welche die Grundgesamtheit erfassen soll. Diese Dichtefunktion liefert dann auch für die außerhalb der Stichprobenausdehnung liegende, d.h. extreme x-Werte, Häufigkeitsaussagen, die bezogen auf die Grundgesamtheit als Eintrittswahrscheinlichkeit bezeichnet werden.

Als Maßzahlen zur Charakteristik der Häufigkeitsdichte und zur Erfassung durch eine Dichtefunktion dienen statistische Parameter:

Mittelwert:
Standardabweichung:
Schiefekoeffizient:

Eintrittswahrscheinlichkeiten P von Bemessungshochwasser- und niederschläge

Eintrittswahrscheinlichkeit = 1 / Wiederkehrintervall

Die Berechnung von Werten x(P) mit einem Wiederkehrintervall T_n(x) aus einzelnen Verteilungsfunktionen wird durch die Gleichung

wesentlich erleichtert. Der normierte Wert z, vielfach auch als Häufigkeitsfaktor k bezeichnet (Frequenzfaktor im Wittenberg-Skript), ist von der Verteilung, der Wiederholungszeitspanne T_n und bei dreiparametrigen Funktionen vom Schiefekoeffizienten c_s abhängig.

Durch Umformung obriger Gleichung kann nach Bestimmung des Häufigkeitsfaktors k(=z) der einer vorgegebenen Wiederholungszeitspanne T_n zugeordnete Wert T_n(x) [≡x(P)] aus der allgemeinen Häufigkeitsgleichung ("allgemeine Frequenzformel oder hydrologische Grundgleichung" n. Schröder et al.) berechnet werden:

xT_n = x_M + k(T_n) s_x .

k-Wertberechnung für

• Pearson 3: s. Wittenberg-Skript S. 35 und Empfehlungen zur

• Gumbel: mit einer Näherungsformel

Beispielsaufgabe

Für die Jahre 1950 bis 1979 sind am Pegel eines Mittelgebirgsflusses gemessene Zeitreihen der Jahreshöchstabflüsse HQ dargestellt. Im Rahmen einer wasserbaulichen Maßnahme ist eine Extremwertprognose (s. Wittenberg-Skript S. 35) mit den folgenden Fragestellungen durchzuführen:

1. Wie groß sind die 50- und 100-jährigen Hochwasserabflüsse HQ50 und HQ100?
2. Welche Wiederholungszeitspannen T_n sind dem größten beobachteten Jahreshöchstabfluss max HQ=78 m³/s zuzuordnen?
3. Wie groß ist das stochastische Risiko, dass der Abfluss max HQ=78 m³/s in der angenommenen Funktionsdauer von 30 a einmal erreicht oder überschritten wird?

gegeben:

x_M = 47,83 m³/s

s_x = 13,86 m³/s

c_s = 0,31

Lösung zu 1: ... es sind (extreme) x-Werte für vorgegebene Wiederholungszeitspanne T_n gesucht. Die Prognose der Extremwerte wird unter Zugrundelegung verschiedener Verteilungsfunktionen durchgeführt. Für die Parameterschätzung wird von der in der Ingenieurshydrologie weitverbreiteten Momentenmethode ausgegangen.

Rechnung:

T_n(x = HQ 50) = 50 a : P(x) = 0,98, 1 - P(x) = 0,02 (2% Häufigkeit)

... Verwendung der Gauß-Normalverteilung, in der 1-P(z) mit k und P(k) tabelliert sind (... Ordinate Häufigkeitsfaktor k, Abzisse 2. Stelle hinter dem Komma, in der Tabelle die Häufigkeiten).

1. für T_n= 50 a, d.h. [1-P(k)] = 0,02 {s. o.} .... k = 2,05 {aus Tab.}
2. Rücksubsitution mit T_n = 50 a und k = 2,05

Mit der Pearson-Verteilung Typ 3 (c_s = 0,58): HQ = 2,359 · 13,86 + 47,83 = 80,52 m³/s

Beispiel im Skript (Einschub!)

T = 20 a, ; 1-P(x) = 0,05,

Pearson-3 (c_s = 1.15): k₂₀ = 1,902; HQ 20 = 68,8 + 1,902 · 37,1 = 139 m³/s

Gumbel (c_s = 2): k₂₀ = 1,867; HQ 20 = 68,8 + 1,867 · 37,1 = 138 m³/s

Wichtige Anmerkungen:

Die Auswahl geeigneter Verteilungsfunktionen für die möglichst gute Anpassung und Extrapolation der Stichprobe muss unter Berücksichtigung der Form der Häufigkeitslinie und der statistischen Parameter vorgenommen werden (Prüfverfahren).

Die für die ausgewählten Dichtefunktionen p(x) festzulegenden Parameter sollen eine möglichst gute Anpassung (nach Form und Größe) an die Häufigkeitslinie der Stichprobe erzwingen. Dazu gibt es verschiedene Parameter-Schätzverfahren:

... das bekannteste und die in der Ingenieurhydrologie häufig verwendete Technik ist die

MOMENTEN-Methode.

Dabei wird davon ausgegangen, dass die statistischen Parameter (Momente) der die Stichprobe beschriebenen Häufigkeitslinie auch für die Gesamtheit gelten, d.h. als Parameter der Dichtefunktion anzusetzen sind.

Lösung zu 2: ...es sind Wiederholungszeitspannen T_n für (extreme) x-Werte gesucht. Die Werte HQ₁ = x₁ = 78 m³/s (= max. x der Stichprobe) und HQ₂ = x₂ = 95 m³/s sind vorgegeben.

Mit Gauß-Normalverteilung: Die Überschreitungswahrscheinlichkeiten [1-P(x)] bzw. [1-P(k)] mit k = (x-x_M)/s_x können aus den entsprechenden Wahrscheinlichkeits-Tabellen entnommen werden:

x₁ = 78 m³/s: ; [1-P(k)] = 0,01472 (interpoliert aus Tab.)

x₂ = 95 m³/s: ; [1-P(k)] = 0,0003

...mit Pearson-Verteilung Typ3 gerechnet:

...für x₁ = 78 m³/s T_n = 37,8 a

...für x₂ = 95 m³/s T_n = 370 a

... mit Gauß-Normalverteilung:

x₁ = 78 m³/s : P´(x=78) = 97.3%

Lösung c:

Das stochastische Risiko P_k, dass ein extremes Ereignis x der Wiederholungszeitspanne Tn(x) in einem vorgegebenen Zeitraum T_f < T_n (x) einmal auftritt, kann aus

... für max HQ = 78 m³/s; T_f = 30a; T_n = 37,8 a:

Tabelle 7.4: k-Werte für positive Schiefe C_S (Pearson-Typ-III-Verteilung; für C_S = 0 Werte der Normalverteilung. Werte aus Maniak 1997, S. 122).

Tabelle 7.5: Jährliche Niederschlagssummen der Station Hohenheim für 80 Beobachtungsjahre, geordnet in Klassen der Breite b = 50 mm (Werte aus Maniak 1997, S. 124)

(aus: Maniak [1998], S. 125)

Verteilungsfunktionen entsteht aus der Dichtefunktion

Die Summenlinie (das Integral) der Verteilungsfunktion ergibt die Dauerlinie der Unterschreitung, die sogenannte Wahrscheinlichkeitskurve. Mit ihrer Extrapolation kann die Größe wahrscheinlicher Extremwerte auch für sehr kleine Eintrittswahrscheinlichkeiten bzw. große statistische Wiederkehrintervalle bestimmt werden.

Dichtefunktion der Standardnormalverteilung

Dichtefunktion der N(3,1)-Verteilung

Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

Verteilungsfunktion F(t) als Fläche unterhalb der Dichtefunktion

P({13 < X < 16}) als Fläche unterhalb der Dichtefunktion

Aus: Vorlesung Statistik III (F. Böker)

Zur Ermittlung von Hochwasserabflüssen seltener Eintrittswahrscheinlichkeiten Projektbearbeiter: Dipl.- Ing. Nach der in der Bundesrepublik gültigen DIN 19700 für Planung, Bau und Betrieb von Hochwasserrückhaltebecken werden für die Bemessung von Hochwasserschutzräumen Ereignisse mit Wiederkehrintervallen bis T = 100 Jahre und von Hochwasserentlastungsanlagen...

HQ-EX Version 2.0 - Handbuch

http://www.wasy.de/deu/prodinfo/hq/hqex/hqex_on2.htm

Das Programm HQ-EX dient der Berechnung von Hochwasserwahrscheinlichkeiten. Es entstand in Übereinstimmung mit der Neufassung /1/ der DVWK-Regel 101 "Empfehlung zur Berechnung der Hochwasserwahrscheinlichkeit", ab 1998 die vorhergehende Fassung aus dem Jahre 1979 ablöst. Sie kann über die in Abschnitt 4 /1/ angegebene Adresse angefordert werden. Die Arbeit /2/ von KLUGE zur "Wahrscheinlichkeitsanalyse von Hochwasserdurchflüssen" bildet die fachliche Basis des Programmes. Die vorliegende Version 2.0 wird nach einer mehrmonatigen Testphase ab Juli 1997 ausgeliefert.

Das Programm HQ-EX analysiert Stichproben von Jahreshöchstabflüssen an Pegeln, indem es

• die zugehörigen empirischen Verteilungendurch 7 verschiedene analytische Verteilungs-funktionen

• mit in der Regel 3 unterschiedlichen Schätzmethoden approximiert,

• die dabei erzielte Güte durch 3 Anpassungsmaße quantifiziert und

• alle Ergebnisse in Form von Tabellen und Grafiken darstellt.

Literatur

/1/ Statistische Analyse von Hochwasserabflüssen.

DVWK-Regel 101, unveröffentlichter Entwurf 1997 (zu beziehen bei DVWK Geschäftsstelle, Gluckstraße 2, 53115 Bonn).

/2/ KLUGE, C.

Statistische Analyse von Hochwasserdurchflüssen.

Dresdner Berichte, Institut für Siedlungs- und Industriewasserwirtschaft,Institut für Hydrologie und Meteorologie, TU Dresden, H.7, 1996.

/3/ PLATE, E.J.

Statistik und angewandte Wahrscheinlichkeitslehre für Bauingenieure.

Ernst & Sohn, Verlag für Architektur und technische Wissenschaften,Berlin, 1993.